一.一般要求

本大綱適用于我校報考數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的大學(xué)生。考生應(yīng)理解或明白《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》中的基本概念和理論；掌握基本方法。注意知識各部分的結(jié)構(gòu)和知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備一定的抽象思維、邏輯推理、計算和想象力介于空之間的能力；能運用基本概念、基本理論、基本方法正確推理證明，計算準(zhǔn)確簡單；能夠綜合運用所學(xué)知識分析和解決簡單的實際問題。

二、考試范圍和要求

數(shù)學(xué)分析考試的內(nèi)容和要求

(一)實數(shù)集和函數(shù)

1.內(nèi)容

實數(shù)，數(shù)集，定則，函數(shù)概念，具有一定特征的函數(shù)。

2.要求

了解實數(shù)的十進(jìn)制表示，實數(shù)的階、密度、貼近度，實數(shù)的定界原理，函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、有界函數(shù)、反函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、初等函數(shù)的定義，掌握鄰域的概念，實數(shù)絕對值的性質(zhì)，基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像。

(二)數(shù)列極限

1.內(nèi)容

數(shù)列極限的概念，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件。

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(c)職能的限制

1.內(nèi)容

泛函極限的概念，泛函極限的性質(zhì)，泛函極限存在的條件，兩個重要極限的比較，無窮小量和無窮小量，階。

2.要求

理解函數(shù)極限的幾何意義，理解函數(shù)極限的定義，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)，海涅定理和柯西準(zhǔn)則，兩個重要的極限，無窮小(大)量及其階比。

(四)職能的連續(xù)性

1.內(nèi)容

函數(shù)連續(xù)性的概念，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。

2.要求

了解函數(shù)的不連續(xù)點及其類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，了解一點連續(xù)和一定區(qū)間一致連續(xù)的概念，掌握連續(xù)函數(shù)的局部和運算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的連續(xù)性，封閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

(5)導(dǎo)數(shù)和微分

1.內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)定律，微分，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分。

2.要求

了解導(dǎo)數(shù)的物理意義和導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義，了解導(dǎo)數(shù)與微分的定義和一階微分形式的不變性，掌握導(dǎo)數(shù)的四個算術(shù)規(guī)則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分的計算方法。

(6)微分中值定理及其應(yīng)用

1.內(nèi)容

中值定理，一些特殊類型的不定式極限和Robita規(guī)則，泰勒公式，函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的凸性和拐點，函數(shù)的繪制，方程的近似解。

2.要求

了解導(dǎo)函數(shù)的極限定理、導(dǎo)函數(shù)的中值定理、函數(shù)的凸性概念、中值定理及其解析和幾何意義、泰勒定理、函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)單調(diào)和嚴(yán)格單調(diào)的意義和條件，掌握中值定理的證明方法、Robita定律及其應(yīng)用、泰勒公式、函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判別方法、極值的判別方法。

(7)實數(shù)的完備性

1.內(nèi)容

實數(shù)完備性的六個等價定理，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明，上下限。

2.要求

理解數(shù)列的上下限概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系，理解六個基本定理的本質(zhì)意義和相互等價性，掌握區(qū)間嵌套、收斂、開覆蓋等概念，六個基本定理的條件和結(jié)論，證明的基本思想方法和應(yīng)用。

(8)不定積分

1.內(nèi)容

不定積分概念及基本積分公式，代換積分法及分部積分，幾種可轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分。

(9)固定積分

1.內(nèi)容

定積分的定義，定積分條件，微積分基本定理。

2.要求

了解可積的必要條件和上下和的性質(zhì)，了解和掌握定積分的思想，定積分的性質(zhì)，微積分的基本定理，掌握代換積分和分部積分的方法，解決計算問題。

(10)定積分的應(yīng)用

1.內(nèi)容

平面圖形面積計算，已知截面積為體積，曲線弧長和曲率，重心坐標(biāo)，平均值，變力功。

2.要求

掌握各種平面圖形面積的計算方法，曲線弧長的各種表達(dá)式及其計算方法，定積分在物理中的應(yīng)用，從截面積函數(shù)理解和掌握空之間的三維體積計算公式的應(yīng)用，用無窮小方法計算旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

(11)積分不當(dāng)

1.內(nèi)容

廣義積分的概念，無窮積分的性質(zhì)和收斂性判別，缺陷積分的性質(zhì)和收斂性判別。

了解無窮積分和虧量積分的性質(zhì)和收斂性判別，了解反常積分的概念，掌握無窮積分和虧量積分的計算方法。

(12)數(shù)字系列

1.內(nèi)容

級數(shù)斂散性，正項級數(shù)，一般級數(shù)。

2.要求

了解和掌握級數(shù)、偏和、斂散性的概念，級數(shù)的收斂準(zhǔn)則及其性質(zhì)，掌握正項級數(shù)斂散性的比較原理、比值公式和根式判別，了解交錯級數(shù)的概念，進(jìn)而掌握其斂散性判別方法，找出絕對收斂的含義，掌握其相關(guān)性質(zhì)和一般級數(shù)的斂散性判別方法。

(13)函數(shù)列和函數(shù)項系列

1.內(nèi)容

一致收斂、一致收斂的函數(shù)級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。

2.要求

了解和掌握函數(shù)序列(或函數(shù)項級數(shù))和一致收斂的概念和性質(zhì)，掌握函數(shù)項級數(shù)的幾種重要判別方法，并利用它們進(jìn)行判別，掌握一致收斂的函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性，解決實際問題。

(14)冪級數(shù)

1.內(nèi)容

冪級數(shù)，冪級數(shù)展開的函數(shù)。

2.要求

掌握冪級數(shù)的概念、性質(zhì)、收斂域和一致收斂，了解并找到冪級數(shù)

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計算，特別是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算，會發(fā)現(xiàn)空之間曲線的切線方程和法平面方程；空之間曲面的切面方程和法線方程；掌握泰勒公式的含義和用法，寫出簡單二元函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式；掌握求二元函數(shù)局部極值和最大(最小值)值的方法，解決一些簡單的應(yīng)用問題。

(18)隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1.內(nèi)容

隱函數(shù)，隱函數(shù)群，幾何應(yīng)用，條件極值。

2.要求

要理解隱函數(shù)的概念，掌握隱函數(shù)(群)定理和反函數(shù)群定理，需要用定理驗證方程(或方程組)來確定隱函數(shù)(或隱函數(shù)群)，需要熟練而準(zhǔn)確地計算隱函數(shù)(或隱函數(shù)群)和反函數(shù)群的偏導(dǎo)數(shù)，需要理解隱函數(shù)的幾何意義和坐標(biāo)變換的一些結(jié)果，需要計算平面曲線的切線方程和法線方程， 空在空之間的曲面的切面方程和法方程，掌握求條件極值的拉格朗日乘子法，將一些實際的極值問題抽象成數(shù)學(xué)中的條件極值問題。

(19)與參數(shù)集成

1.內(nèi)容

參數(shù)正規(guī)積分，參數(shù)非正規(guī)積分，歐拉積分。

2.要求

理解參數(shù)正規(guī)積分的概念，掌握參數(shù)正規(guī)積分的連續(xù)性、可積性和可微性，積分序列的交換及其應(yīng)用，理解參數(shù)正規(guī)積分一致收斂的概念，掌握其判別方法，掌握參數(shù)正規(guī)積分的解析性質(zhì)，并利用它計算積分，理解歐拉積分。

(20)

1.內(nèi)容

靠前類曲線積分，第二類曲線積分。

2.要求

理解和掌握靠前類曲線積分的概念、性質(zhì)和計算，理解和掌握第二類曲線積分及其性質(zhì)和計算方法，理解兩類曲線積分的關(guān)系。

(21)重新整合

1.內(nèi)容

二重積分的概念，二重積分的計算，格林公式和曲線積分與路線無關(guān)，二重積分的變量變換，三重積分以及二重積分的應(yīng)用。

2.要求

掌握多重積分的概念、可積條件和性質(zhì)，用重積分的方法計算多重積分，根據(jù)積分面積和可積函數(shù)的特點適當(dāng)替換變量，掌握極坐標(biāo)替換和一般坐標(biāo)替換。理解和掌握格林公式和曲線積分與路線的獨立性，解決相關(guān)計算問題。會用重復(fù)積分的方法來計算三重積分。會用柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)和廣義柱球坐標(biāo)來變換計算三重積分；光滑表面的面積用二重積分計算，物體的重心和轉(zhuǎn)動慣量的坐標(biāo)，平面圖形的面積，固體的體積用二重和三重積分計算。

(22)表面積分

1.內(nèi)容

靠前類曲面積分，第二類曲面積分。

2.要求

了解和掌握靠前類曲面積分的概念、性質(zhì)和計算，曲面邊的概念，第二類曲面積分的概念、性質(zhì)和計算方法，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯公式和斯托克斯公式，并用它們解決一些計算問題。高等代數(shù)考試的內(nèi)容和要求

(a)行列式

1.內(nèi)容

排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)，n階行列式的各種計算方法(包括展開)，Kram法則，拉普拉斯定理，行列式的乘法法則。

2.要求

正確理解N級行列式的定義，掌握其性質(zhì)和各種計算方法，熟悉幾種特殊行列式和拉普拉斯定理，用克蘭姆定律解方程。

(2)矩陣

1.內(nèi)容

矩陣的定義與運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，N維向量及其線性相關(guān)，向量組的秩，分塊矩陣的廣義初等變換及其應(yīng)用。

2.要求

理解和掌握矩陣和n階矩陣行列式的概念，掌握矩陣的運算規(guī)則，掌握用初等變換求標(biāo)準(zhǔn)矩陣和逆矩陣的幾種方法，掌握矩陣秩與向量組秩的關(guān)系，用分塊法解決矩陣運算與秩的關(guān)系。

(三)線性方程

1.內(nèi)容

消元法，線性方程組有解的判別定理，齊次線性方程組，一般線性方程組。

2.要求

掌握了系數(shù)矩陣、增廣矩陣及其秩的關(guān)系，就可以熟練地應(yīng)用帶解判別定理的初等變換和矩陣來求解方程，找到方程的特殊解和一般解，導(dǎo)出方程的基本解系和所有解。

(4)多項式

1.內(nèi)容

整數(shù)的一些可分性質(zhì)，一元多項式的定義和運算，多項式的可除性，最大公因式，互質(zhì)，不可約多項式，因式分解，多因子，多項式函數(shù)，根與主因子的關(guān)系，復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式的可約性與有理根，根與可約性的關(guān)系。

2.要求

正確理解多項式及其相關(guān)概念，它與多項式函數(shù)的異同。掌握因式分解定理及其在一些常用數(shù)域中的具體體現(xiàn)，正確理解可約性與根的關(guān)系。掌握余數(shù)除法，因式分解定理，復(fù)系數(shù)和實系數(shù)的因式分解，有理系數(shù)多項式的相關(guān)結(jié)論。

(e)線性空

1.內(nèi)容

映射與代數(shù)運算，線性空的定義與性質(zhì)，維數(shù)，基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性sub 空之間的交與和，sub 空，sub 空之間的直和，線性/[/k0/。

2.要求

正確理解線性空、尺寸、基礎(chǔ)、坐標(biāo)等相關(guān)定義，正確理解線性空中零和負(fù)元素的正確含義，用不同的方法計算向量坐標(biāo)和轉(zhuǎn)移矩陣，利用基的擴(kuò)張定理證明線性空之間的相關(guān)命題，掌握/[

(6)利用解判別定理和矩陣的初等變換可以求解方程，求出方程的特解和通解，導(dǎo)出基本解系和方程的所有解。

(4)多項式

1.內(nèi)容

整數(shù)的一些可分性質(zhì)，一元多項式的定義和運算，多項式的可除性，最大公因式，互質(zhì)，不可約多項式，因式分解，多因子，多項式函數(shù)，根與主因子的關(guān)系，復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式的可約性與有理根，根與可約性的關(guān)系。

2.要求

正確理解多項式及其相關(guān)概念，它與多項式函數(shù)的異同。掌握因式分解定理及其在一些常用數(shù)域中的具體體現(xiàn)，正確理解可約性與根的關(guān)系。掌握余數(shù)除法，因式分解定理，復(fù)系數(shù)和實系數(shù)的因式分解，有理系數(shù)多項式的相關(guān)結(jié)論。

(e)線性空

1.內(nèi)容

映射與代數(shù)運算，線性空的定義與性質(zhì)，維數(shù)，基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性sub 空之間的交與和，sub 空，sub 空之間的直和，線性/[/k0/。

2.要求

正確理解線性空、尺寸、基礎(chǔ)、坐標(biāo)等相關(guān)定義，正確理解線性空中零和負(fù)元素的正確含義，用不同的方法計算向量坐標(biāo)和轉(zhuǎn)移矩陣，利用基的擴(kuò)張定理證明線性空之間的相關(guān)命題，掌握/[

(6)線性變換

1.內(nèi)容

線性變換的定義和運算，線性變換的矩陣，特征值和特征向量，對角矩陣，線性變換的值域和核，不變量之間空。

2.要求

正確理解線性變換的定義和算法及其值域和核，正確區(qū)分線性變換和同構(gòu)的異同，用基下矩陣的定義正確理解線性變換和N階矩陣的一一對應(yīng)，進(jìn)而理解同構(gòu)。掌握兩個矩陣相似的定義、判別方法和性質(zhì)，就會計算出特征根和特征向量，進(jìn)而掌握可以對角化的判別方法。

(7)二級類型

1.內(nèi)容

二次型及其矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定二次型。

2.要求

正確理解二次型的多種不同定義及其與對稱矩陣的關(guān)系。將非退化線性形式的二次型替換為標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范型，掌握正交二次型的幾個重要性質(zhì)。

三、考試方法

(1)考試方式:閉卷、筆試。

(2)考試時間:120分鐘。

四、試卷結(jié)構(gòu)

(1)試卷分?jǐn)?shù):試卷滿分為100分。

(二)試題符合本考試大綱的考試內(nèi)容要求，其中:20%理解內(nèi)容，20%理解內(nèi)容，60%掌握內(nèi)容。數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，各占50%。

(3)參考題和試題參考分?jǐn)?shù):

考題包括真題或假題、選擇題、填空題空題、計算題、證明題等。

1.判斷:每項2分，共5項，共10分。

2.單項選擇:每小項3分，共5小項，共15分。

3.填空:每空3分，共5空，共15分。

4.計算:每項5分，8項40分。

5.證明:每項10分，2項20分。

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