一、考試內(nèi)容概述
函數(shù)、極限、連續(xù)性、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、常微分方程的基本概念、基本理論、基本運算方法和基本運算能力;導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用:微分中值定理(羅爾中值定理和拉格朗日中值定理)及其應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)在求待定極限、求極值、最大值及函數(shù)作圖中的應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用;積分在幾何和經(jīng)濟中的應(yīng)用。
二、考試形式
考試方法閉卷筆試
考試成績150分(單科成績)
考試時間為120分鐘
三、試題難度分布
容易題占50%左右
中考占30%左右
難題占20%左右
四.內(nèi)容比例
函數(shù)、極限和連續(xù)性約占18%
導(dǎo)數(shù)和微分約占22%
衍生品的應(yīng)用約占18%
不定積分約占12%
定積分(包括廣義積分)及其應(yīng)用約占20%
常微分方程最初約占10%
動詞 (verb的縮寫)參考教科書
1.趙書齊主編:《微積分》(第三版),中國人民大學(xué)出版社2008年版。
2.左延芳、王躍主編:《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》(靠前版,靠前卷),云南大學(xué)出版社,2009年。
3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系:《高等數(shù)學(xué)》(第六版,靠前卷) (十一五期間普通高等教育21種國家規(guī)劃教材),高等教育出版社,2004年版。
不及物動詞考試內(nèi)容和要求
靠前部分函數(shù)、極限和連續(xù)性
[功能]
(一)考試內(nèi)容
1.函數(shù)的概念:函數(shù)的定義;函數(shù)的表示;分段函數(shù)。
2.函數(shù)的簡單性質(zhì):單調(diào)性;有界性;平價;周期性。
3.反函數(shù):反函數(shù)的定義;反函數(shù)的圖像。
4.函數(shù)的四則運算和復(fù)合運算。
5.基本初等函數(shù):常量函數(shù);冪函數(shù);指數(shù)函數(shù);對數(shù)函數(shù);三角函數(shù);反三角函數(shù)
6.初等函數(shù)。
(2)考試要求
1.理解函數(shù)的概念,找到函數(shù)的定義、表達式和函數(shù)值;會找到分段函數(shù)的定義域和函數(shù)值,會做出簡單分段函數(shù)的圖像。
2.理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性,判斷給定函數(shù)的范疇。
3.理解函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的關(guān)系
(定義域、值域、圖),求簡單函數(shù)的反函數(shù)。
4.了解和掌握函數(shù)的四次運算和復(fù)合運算,尤其是掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。
5.掌握基本初等函數(shù)及其圖像的簡單性質(zhì)。
6.理解初等函數(shù)的概念。
7.簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系就建立起來了。
[極限]
(一)考試內(nèi)容
1.數(shù)列極限的概念:數(shù)列定義;序列極限的定義。2.數(shù)列極限的性質(zhì):唯一性;有界性;四個操作標(biāo)準(zhǔn);二
邊緣夾緊標(biāo)準(zhǔn);單調(diào)有界準(zhǔn)則。
3.函數(shù)極限概念:函數(shù)f(x)在x點,在極限處,左右
極限的定義及其關(guān)系;當(dāng)x→∞,x→+∞,x→-∞時,
時間函數(shù)f (x >:極限的定義及其關(guān)系。
4.函數(shù)極限定理:唯一性定理;四個運算定理。
5.無窮小量和無窮小量的概念:無窮小量的定義;無限多的定義;無窮小量的性質(zhì);無窮小量與無窮小量的關(guān)系;兩個無窮小階的比較。
6.兩個重要的限制:及其應(yīng)用。
(2)考試要求
1.理解極限的概念(不需要極限定義中“C-N”、“S-6”、“ε-M”的描述);理解函數(shù)在某一點存在極限的充分必要條件。
2.了解極限的相關(guān)性質(zhì);掌握極限的四種算法。
3.理解無窮小量和無限量的概念;掌握無窮小量的性質(zhì)和無窮小量與無窮小量的關(guān)系;會無限階(高階、低階、同階、等價)比較;會用等價無窮小代換求極限。
4.理解兩個擬NUs的存在性(兩邊有擬NIj,單調(diào)有界準(zhǔn)則)。
5.掌握用兩個重要極限求極限的方法。
6.掌握求極限的基本方法:利用基本極限,極限的算法,無窮小的性質(zhì),兩個重要極限,用等價無窮小代替求極限的方法。
[連續(xù)]
(一)考試內(nèi)容
1.函數(shù)連續(xù)性的概念:函數(shù)一點連續(xù)性和左右連續(xù)性的定義及其關(guān)系;函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件;函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念;函數(shù)的間斷點及其分類。
2.函數(shù)在一點上的連續(xù)性:連續(xù)函數(shù)的四種算法;復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;反函數(shù)的連續(xù)性。
3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界性定理;最大最小值定理;中間值定理(包括零點定理,即根的存在定理)。
4.初等函數(shù)的連續(xù)性。
2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)及其幾何意義,得到曲線上某點的切線方程和法向方程。
3.掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四種算法和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法(要點);會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
4.掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法;會找到分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
5.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念;掌握求簡單函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)數(shù)的方法。
[差異]
(一)考試內(nèi)容
1.分化:分化的定義;微分的幾何意義;可微、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。
2.微分公式:df(x)= f , # 39;(x)dx或dy = y , # 39dx .
3.微分規(guī)則和微分基本公式:微分的四個算術(shù)規(guī)則;微分的基本公式(主要是基本初等函數(shù)的微分公式);一階微分形式的不變性。
(2)考試要求
1.理解函數(shù)的微分概念及其幾何意義;掌握分化規(guī)律;理解可微、可微、連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。
2.掌握微分的四大算術(shù)規(guī)則和基本公式,能夠熟練計算函數(shù)的微分。
3.理解一階微分形式的不變性。
第三部分是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
(一)考試內(nèi)容
1.中值定理:Rdle中值定理;拉格朗日中值定理。
2.醫(yī)院法則。
3.函數(shù)的單調(diào)性、極值點、極值和最大值。
4.曲線的凹凸性和拐點。
5.曲線的垂直漸近線和水平漸近線。
(2)考試要求
1.了解羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的內(nèi)容和幾何意義;會用羅爾中值定理證明方程根的存在;會用拉格朗日中值定理證明簡單不等式。
2.掌握用洛必達法則求型和待定型極限的方法(其他待定型不要求)。
3.理解函數(shù)單調(diào)性和極值的概念,掌握用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值的方法。
4、在掌握求函數(shù)極值點方法的基礎(chǔ)上,我們會找到函數(shù)的最大值或最大值點,并據(jù)此解決簡單的應(yīng)用問題。
5.理解曲線凹凸和拐點的概念,掌握用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸和尋找曲線拐點的方法。
6.會找到曲線的垂直漸近線和水平漸近線。
7.它將描繪簡單函數(shù)的圖形(包括垂直漸近線和水平漸近線)。
第四部分不定積分
(一)考試內(nèi)容
1.不定積分的概念:原函數(shù)和不定積分的定義;原函數(shù)的存在定理。
2.不定積分的性質(zhì)和公式:不定積分的基本性質(zhì);不定積分的基本積分公式。
3.轉(zhuǎn)換積分法:靠前種轉(zhuǎn)換積分法(微分法);第二替代積分法(直接替代積分法)。
4.部分集成。
5.一些簡單有理函數(shù)的積分。
(2)考試要求
1.理解原函數(shù)和不定積分的概念和關(guān)系;理解原函數(shù)的存在定理。
2.掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式。
3.掌握不定點代換的靠前種方法;掌握代換的第二種方法(限于簡單的根代換和三角代換)。
4.掌握不定積分的分部積分。
5.會求簡單有理分式函數(shù)的不定積分。
第五部分是定積分(包括廣義積分)及其應(yīng)用
[定積分(包括廣義積分)]
(一)考試內(nèi)容
1.定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義;可積條件。
2.定積分的性質(zhì)。
3.定積分的計算:變上限定積分;牛頓—萊布尼茨公式;定積分的變換積分法:定積分的分部積分。
4.廣義積分:無窮區(qū)間的廣義積分;無界函數(shù)的廣義積分(缺陷積分)。
(2)考試要求
1.理解定積分的概念;掌握定積分的幾何意義;了解可積條件。
2.掌握定積分的基本性質(zhì)。
3.理解變量上界定積分是變量上界的函數(shù);掌握變上限定積分求導(dǎo)的方法。
4.掌握牛頓-萊布尼茨公式。
5.掌握積分方法和定積分的分部積分。
6.理解無窮區(qū)間廣義積分的概念,掌握其計算方法,記住廣義積分dx的收斂條件。
7.理解無界函數(shù)廣義積分的概念,記住廣義積分(缺陷積分)dx的收斂條件。
8.掌握直角坐標(biāo)系中定積分計算的平面圖形面積,以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積;會用定積分解決一些簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題。
【定積分的應(yīng)用】
(一)考試內(nèi)容
1.面積和體積:平面圖形的面積;旋轉(zhuǎn)物體的體積。
2.定積分在經(jīng)濟中的簡單應(yīng)用。
(2)考試要求
1.掌握直角坐標(biāo)系中定積分計算的平面圖形面積,以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。
2.會用定積分解決一些簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題(比如求經(jīng)濟總量、總收入、總利潤等。).
第六部分常微分方程的初步研究
[一階微分方程]
(一)考試內(nèi)容
1.微分方程的概念:微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解。
2.可分離變量的微分方程。
3.一階線性微分方程:一階線性齊次微分方程;一階線性非齊次微分方程。
(2)考試要求
1.了解微分方程的定義;了解微分方程的階、解、通解、初值條件、特解等概念。
2.掌握可分變量微分方程的解法。
3.掌握一階線性微分方程的解法(主要是公式解法)。
4.會應(yīng)用微分方程的知識來解決一些簡單的實際問題。
[可約微分方程]
(一)考試內(nèi)容
1.y (n) = f (x)型方程。
2.Y , # 39,#39;=f(x,y , # 39)型方程。
(2)考試要求
1.“y(n)=f(x)的方程可用降階法求解。
2.會用降階法求解y , # 39,#39;=f(x,y , # 39)型方程。
[二階線性微分方程]
(一)考試內(nèi)容
1.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
2.二階常系數(shù)線性齊次線性微分方程。
3.二階常系數(shù)線性非齊次線性微分方程。
(2)考試要求
1.了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
2.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
3.了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解[自由項定義為,f(x)=Pn(x)eax,其中Pn(x)為X的n次多項式,a為實常數(shù)]。
4.會應(yīng)用微分方程的知識來解決一些簡單的實際問題。
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