2022吉首大學專升本《數學分析》考試大綱已經公布，主要包括課程編號、課程類別、課程考核的要求與知識點、教材和參考書、課程考核實施要求，更多考試大綱內容可點擊查看"湖南專升本考試科目"欄目。

《數學分析》課程考核大綱

一、課程編號

二、課程類別：數學與應用專業(yè)專升本課程

三、編寫說明

1、本考核大綱參考華東師范大學數學系編的教材《數學分析》進行編寫。

2、本大綱適用于數學與應用專業(yè)專升本考試。

四、課程考核的要求與知識點

第一章實數集與函數

1、識記：（1）實數的基本性質；（2）區(qū)間與鄰域；（3）函數的定義；（4）復合函數；（5）反函數；（6）初等函數。

2、理解：（1）上確界、下確界及確界原理；（2）有界函數；（3）單調函數；（4）奇函數和偶函數；（5）周期函數。

3、運用：（1）求函數值；（2）對函數進行四則運算；（3）用中學所學的基本不等式判斷函數的有界性；（4）用定義判斷函數的單調性；（5）用定義判斷函數的奇偶性；（6）用定義判斷函數的周期性。

第二章數列極限

1、識記：（1）收斂數列和發(fā)散數列；（2）無窮小數列；（3）子列；（4）單調數列。

2、理解：（1）數列極限的定義；（2）收斂數列的性質：唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂性；（3）四則運算法則；（4）收斂數列的性質與其子列收斂的關系；（5）單調有界定理；（6）柯西收斂準則。

3、運用：（1）用數列極限定義來判斷數列的極限存在或不存在；（2）用收斂數列性質、單調有界定理或柯西收斂準則來判斷數列極限的存在性；（3）對收斂數列進行四則運算。

第三章函數極限

1、識記：（1）函數極限類型；（2）兩個重要極限；（3）無窮小量及階；（4）無窮大量；（5）曲線的漸近線。

2、理解：（1）x→∞時函數的極限；（2）函數極限的ε--δ定義；（3）左右極限及單側極限；（4）函數極限的性質：唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性、迫斂性；四則運算法則；（5）歸結原則；（6）柯西準則。

3、運用：（1）用函數極限定義及歸結原則來判斷函數極限的存在或不存在；（2）用四則運算法則及兩個重要極限來求函數極限；（3）求曲線的漸近線；（4）對無窮小量的階進行比較。

第四章函數的連續(xù)性

1、識記：（1）自變量和函數的增量；（2）間斷點；（3）函數的最大值與最小值；（4）初等函數在定義域中連續(xù)；（5）初等函數。

2、理解：（1）函數的連續(xù)性（包括點的和區(qū)間上的）；（2）左連續(xù)、右連續(xù)及與連續(xù)的關系；（3）間斷點的分類；（4）連續(xù)函數的性質：局部有界性、局部保號性，四則運算法則，復合函數的連續(xù)性；（5）閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質：最大、最小值定理，根的存在定理，反函數連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。

3、運用：1）用定義來判斷函數的連續(xù)性；（2）用連續(xù)函數性質來進行有關證明；（3）用閉區(qū)間上連續(xù)函數性質進行有關證明。

第五章導數和微分

1、識記：（1）導數；（2）左導數、右導數及與導數的關系；（3）導函數；（4）導數的幾何意義；（5）極值與極值點；（6）穩(wěn)定點。

2、理解：（1）費馬定理；（2）導數的四則運算法則；（3）反函數的導數；（4）復合函數的導數；（5）初等函數的導數公式；（6）參變量函數的導數公式；（7）高階導數與萊布尼茲公式；（8）微分；（9）微分與導數的關系；（10）微分的運算法則；（11）高階微分。

3、運用：（1）能用有關法則計算函數的導數與微分；（2）計算曲線的切線與法線方程；（3）用微分作近似計算。

第六章微分中值定理及其應用

1、識記：（1）不定式極限的基本類型及變型；（2）（嚴格）凸函數，（嚴格）凹函數；（3）曲線的拐點。

2、理解：（1）羅爾中值定理；（2）拉格朗日中值定理；（3）拉格朗日中值定理的推論；（4）（嚴格）單調函數與導數的關系；（5）柯西中值定理；（6）洛必達法則；（7）帶有佩亞諾型余項的泰勒公式；（8）帶有拉格朗日型余項的泰勒公式；（9）極值的第一充分條件；（10）極值的第二充分條件；（11）凸函數與導數的關系；（12）曲線拐點的必要及充分條件。

3、運用：（1）能用導數來判斷函數的單調性、凸性及拐點；（2）求某些理論及實際問題的最值。

第七章實數的完備性

1、識記：（1）區(qū)間套；（2）集合的聚點；（3）開覆蓋。

2、理解：（1）區(qū)間套定理；（2）聚點定理；（3）有限覆蓋定理。

3、運用：用區(qū)間套定理、聚點定理及有限覆蓋定理對一些簡單問題進行計算和證明。

第八章不定積分

1、識記：（1）原函數；（2）不定積分；（3）基本積分表；（4）有理函數。

2、理解：（1）原函數的性質；（2）不定積分的線性運算法則；（3）第一及第二換元積分法；（4）分部積分法；（5）有理函數積分法。

3、運用：應用基本積分表和各種積分方法求函數的不定積分。

第九章定積分

1、識記：（1）定積分的概念；（2）可積的必要條件；（3）可積的函數類（三類）；（4）變上限的定積分。

2、理解：（1）牛頓－萊布尼茨公式；（2）定積分的基本性質：線性性、關于區(qū)間的可加性，不等式性質；（3）積分第一中值定理；（4）微積分學基本定理；（5）換元積分法；（6）分部積分法。

3、運用：（1）用定積分定義求某些類型數列的極限；（2）用定積分性質來證明積分不等式；（3）用各種積分方法計算定積分。

第十章定積分的應用

1、識記：（1）曲線的弧長；（2）光滑曲線。

2、理解：（1）求平面圖形的面積；（2）求平面曲線的弧長；（3）求具有截面面積的立體體積。

3、運用：（1）求平面圖形的面積；（2）求具有截面面積的立體體積；（3）求平面曲線的弧長。

第十一章反常積分

1、識記：（1）無窮限反常積分的收斂與發(fā)散；（2）無界函數反常積分的收斂與發(fā)散；（3）無窮限反常積分的絕對收斂與條件收斂；（4）無界函數反常積分的絕對收斂與條件收斂。

2、理解：（1）無窮限積分的性質：柯西準則、線性性、區(qū)間可加性；（2）無窮限積分斂散性的判別：比較原則及其極限形式；（3）無窮限積分斂散性的判別：柯西判別法及其極限形式；（4）無窮限積分收斂性的判別：阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；（5）瑕積分的性質：柯西準則、線性性、區(qū)間可加性；（6）瑕積分的斂散性判別：比較原則及其極限形式；（7）瑕積分的斂散性判別：柯西判別法及其極限形式。

3、運用：（1）用有關定義求反常積分的值；（2）用有關定義及法則判斷反常積分的斂散性。

第十二章數項級數

1、識記：（1）級數及部分和；（2）級數的收斂與發(fā)散；（3）收斂級數的和；（4）正項級數；（5）交錯級數；（6）級數的絕對收斂與條件收斂。

2、理解：（1）級數收斂的柯西準則與必要條件；（2）收斂級數的性質；（3）比較原則及其極限形式；（4）正項級數的斂散性判別：比式判別法及其極限形式；（5）正項級數的斂散性判別：根式判別法及其極限形式；（6）交錯級數的收斂性判別：萊布尼茨判別法；（7）一般項級數收斂性判別：阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

3、運用：（1）能用定義判斷級數的斂散性并求收斂級數的和；（2）用正項級數的各種斂散性判別法判斷正項級數的斂散性；（3）用柯西準則、萊布尼茨判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法判別一般項級數的收斂性。

第十三章函數列與函數項級數

1、識記：（1）函數列在一點的收斂與發(fā)散；（2）函數列的收斂域；（3）函數列一致收斂的概念；（4）函數項級數在一點的收斂與發(fā)散；（5）函數項級數的收斂域；（6）函數項級數一致收斂的概念。

2、理解：（1）函數列（函數項級）一致收斂的柯西準則；（2）函數列一致收斂的充要條件；（3）函數項級數一致收斂的優(yōu)級數判別法；（4）函數列一致收斂的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法；（5）一致收斂函數列（函數項級數）所確定函數的性質：連續(xù)性、可積性、可微性。

3、運用：（1）用定義求函數列或函數項級數的極限函數或和函數，并求收斂域；（2）用定義或有關法則判斷函數列或函數項級數的一致收斂性；（3）判斷函數列或函數項級數的極限函數或和函數的性質，諸如連續(xù)性、可積性與可微性。

第十四章冪級數

1、識記：（1）冪級數；（2）收斂區(qū)間與收斂半徑；（3）泰勒級數與麥克勞林級數；（4）泰勒展開式或冪級數展開式。

2、理解：（1）收斂半徑公式；（2）冪級數的性質；（3）冪級數的運算。

3、運用：（1）能求冪級數的收斂半徑與收斂域；（2）能用冪級數的性質、運算法則及某些冪級數的和函數求其它冪級數的和函數；（3）能將某些函數展開成冪級數。

第十五章傅里葉級數

1、識記：（1）正交函數和正交函數系；（2）傅里葉級數；（3）按段光滑函數；（4）正弦函數與余弦級數。

2、理解：傅里葉級數的收斂定理。

3、運用：（1）求某些函數的傅里葉級數；（2）用收斂定理判斷某些函數的傅里葉級數的收斂性。

第十六章多元函數的極限與連續(xù)

1、識記：（1）平面點集的內點、外點、界點與聚點、孤立點；（2）開集與閉集；（3）開域、閉域、區(qū)域；（4）有界點集和無界點集；（5）二元函數和n元函數；（6）平面點列的極限。

2、理解：（1）二元函數的極限；（2）二元函數的累次極限；（3）二元函數的累次極限與重極限的關系；（4）二元函數的連續(xù)性；（5）有界閉域上連續(xù)函數的性質：有界性與最大值、最小值定理。

3、運用：（1）用定義或四則運算法則求二元函數的極限或累次極限；（2）用定義研究二元函數的連續(xù)性。

第十七章多元函數微分學

1、識記：（1）全微分；（2）偏導數；（3）方向導數；（4）梯度；（5）海賽矩陣。

2、理解：（1）函數可微的必要條件和充要條件；（2）復合函數求導的鏈式法則；（3）混合偏導數可交換的充分條件；（4）極值的必要條件；（5）極值的充分條件。

3、運用：（1）求函數的偏導數、全微分及高階偏導數；（2）求曲面的切平面方程與法線方程。

第十八章隱函數定理及其應用

1、識記：（1）顯函數與隱函數；（2）隱函數組；（3）條件極值；（4）拉格朗日函數。

2、理解：（1）隱函數存在定理；（2）隱函數組定理；（3）用拉格朗日乘數法求函數的條件極值。

3、運用：（1）隱函數及隱函數組求導；（2）求平面曲線的切線與法線；（3）求空間曲線的切線與法平面；（4）求曲面的切平面與法線。

第十九章　含參量積分

1、識記：（1）含參量（正常）積分；（2）累次積分；（3）含參量的無窮限反常積分；（4）含參量的無窮限反常積分的一致收斂性。

2、理解：（1）含參量（正常）積分的連續(xù)性、可微性與可積性定理；（2）含參量的無窮限反常積分的一致收斂判別法則：柯西準則、大M判別法、阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；（3）含參量的無窮限反常積分的性質：連續(xù)性、可微性與可積性。

3、運用：（1）用含參量的微分法求定積分；（2）判斷含參量的無窮限反常積分的一致收斂性；（3）用含參量的無窮限反常積分的微分法求無窮限反常積分。

第二十章曲線積分

1、識記：（1）第一型曲線積分的定義及性質；（2）第二型曲線積分的定義及性質。

2、理解：（1）第一型曲線積分的計算公式；（2）第二型曲線積分的計算公式。

3、運用：（1）求第一型曲線積分和第二型曲線積分。

第二十一章重積分

1、識記：（1）二重積分的定義；（2）二重積分的性質；（3）x型區(qū)域和y型區(qū)域；（4）曲線的正向；（5）單連通區(qū)域與復連通區(qū)域；（6）三重積分的定義及性質。

2、理解：（1）直角坐標系下的二重積分化為逐次積分；（2）格林公式；（3）曲線積分與路徑無關的充要條件；（4）二重積分的變量變換公式；（5）用極坐標計算二重積分；（6）三重積分的常用變量變換公式：柱面坐標變換與球坐標變換。

3、運用：（1）計算二重積分和三重積分。

第二十二章曲面積分

1、識記：（1）第一型曲面積分的定義及性質；（2）單側曲面與雙側曲面；（3）第二型曲面積分的定義及性質；（4）右手法則。

2、理解：（1）第一型曲面積分的計算公式；（2）第二型曲面積分的計算公式；（3）高斯公式。

3、運用：（1）計算第一型曲面積分；（2）會用第二型曲面積分的計算公式和高斯公式計算第二型曲面積分。

五、課程考核實施要求

1、考核方式

本考核大綱為數學與應用專業(yè)專升本學生所用，考核方式為閉卷考試。

2、考試命題

（1）本考核大綱命題內容覆蓋了教材的主要內容。

（2）試題對不同能力層次要求的比例為：識記約占15%，理解約占45%，運用約占40%。

（3）試卷中不同難易度試題的比例為：較易占30%，中等占55%，較難占15%。

（4）本課程考試試題類型有填空題（占30％），判斷題（占10％）,計算題（占36％），證明題（占24％）等四種形式。

3、課程考核成績評定

考試卷面成績即為本課程成績。

六、教材和參考書

1、教材

華東師范大學數學系.數學分析（上、下冊）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

2、參考書目

[1]陳傳璋等編.《數學分析》（上、下冊）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]張筑生編.《數學分析新講》（第一、二、三冊）（第一版）[M].北京：北京大學出版社，1990.

[3]謝惠民等編.《數學分析習題課講義》（上、下冊）（第一）[M].北京：高等教育出版社，2004.

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